Задание 19 егэ базовый. ЕГЭ по Математике (профильный)

Читалова Светлана Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СШ№23 с углубленным изучением отдельных предметов
Населённый пункт: Нижегородская область, город Дзержинск
Наименование материала: презентация
Тема: "Задание №19. ЕГЭ. Математика (базовый уровень)"
Дата публикации: 14.05.2016
Раздел: полное образование

Задание №19.

ЕГЭ. Математика

(базовый уровень)

Читалова Светлана Николаевна

учитель математики,

МБОУ СШ №23

с углубленным изучением отдельных

предметов,

Характеристика задания

Задание №19 (1 балл) –

базовый уровень.

преобразования.

Задание №19 (1 балл) –

базовый уровень.

Проверяет умение выполнять вычисления и

преобразования.

Время выполнения задания 16 минут.

В задании предложены задачи на тему

«Делимость натуральных чисел».

Чтобы решить такую задачу, надо знать

признаки делимости натуральных чисел,

свойства делимости чисел и другие сведения.

делится на 4.

делится на 11.

На 2: Число делится на 2 тогда и только тогда, когда

оно оканчивается четной цифрой.

На 3: Число делится на 3 тогда и только тогда,

когда сумма его цифр делится на 3.

На 4: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда

число, образованное его двумя последними цифрами,

делится на 4.

На 5: Число делится на 5 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается цифрой 0 или 5.

На 8: Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его тремя

последними цифрами, делится на 8.

На 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

На 10: Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0.

На 11: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой

цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах,

делится на 11.

На 25: Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя

последними цифрами, делится на 25.

Признаки делимости:

чисел

таких, что

а = в q + r, где 0 ≤ r ≤ в.

Свойство делимости: Если натуральное число делится на каждое из

двух взаимно простых чисел, то оно делится на их произведение.

Определение. Натуральные числа называют

взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без

остатка числа а и в, называют наибольшим общим делителем этих

чисел

Свойство делимости: Если в сумме целых чисел каждое слагаемое

делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

Теорема о делении с остатком: Для любого целого числа а и

натурального числа в существует единственная пара целых чисел q и r

таких, что

а = в q + r, где 0 ≤ r ≤ в.

Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называют

частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Теоретические сведения:

но не делится на 9.

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3,

но не делится на 9.

Задача №1 (демо–версия 2016г)

на3 и не делится на 9.

Решение. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20= 9+9+2; 2) 20= 9+8+3; 3) 20=9+7+4;

20=9+6+5; 5) 20=8+8+4; 6) 20= 8+7+5

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она

на3 и не делится на 9.

1) 81+81+4 =166 не дел на3; 2) 81+64+9 =154 не дел на3;

3) 81+49+16 =146 не дел на3; 4) 81+36+25=142 не дел на3;

5) 64+64+16=144 дел на 3 и 9;

6) 64+49+25= 138 дел на 3,но не дел на 9

Разложение (6) удовлетворяет условию задачи. Таким образом, условию

задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5,7,8.

Ответ. 578, 587,758,785,857,875

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

но не делится на 4.

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

которого равна 24, а сумма квадратов цифр делится на 2,

но не делится на 4.

Задача №2

делится на 9.

9,9,6 и 9,8,7.

Решение. Пусть авс – искомое число. Так как а+в+с=24,

то среди цифр а, в, с либо две нечетные, либо ни одной.

Если все цифры а, в, с четны, то сумма их квадратов делится на 4, а это противоречит

условию задачи, значит, среди цифр а, в, с две нечетных. Разложим число 24 на

слагаемые: 24=9+9+6, 24=9+8+7.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не

делится на 9.

81+81+36= 198 дел на 2,но не дел на 4

81+64+49= 194 дел на 2,но не дел на 4

Разложение (1), (2) удовлетворяют условию задачи. Таким образом,

условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами

9,9,6 и 9,8,7.

Ответ. 996, 969, 699, 987, 978, 897, 879, 798, 789

квадратов цифр делится 5

Приведите пример трехзначного числа,

сумма цифр которого равна 22, а сумма

квадратов цифр делится 5

Задача №3

Ответ. 589,598,985,958,895,859

направо.

Приведите пример трехзначного натурального числа, большего

600, которое при делении на 3, на4, на 5 дает в остатке 1 и

цифры которого расположены в порядке убывания слева

направо.

В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача №4

проверим при к=10.

направо.

Ответ. 721

Решение. Пусть А – искомое число. Так как оно делится на 3,4,5, то оно делится на

3х4х5= 60 и при делении дает остаток 1, значит А=60к+1. Так как А больше 600, то

проверим при к=10.

Если к=10,то А=601, цифры в этом числе не расположены в порядке убывания слева

направо.

Если к=11, то А=661 цифры в этом числе не расположены в порядке убывания слева

направо.

Если к=12, то А=721 цифры в этом числе расположены в порядке убывания слева

направо, а значит это число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 721

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

делении на 7 и на 5 дает равные ненулевые остатки, а первая слева

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Если таких чисел несколько, в ответе укажите наименьшее из них

Задача №5

< r < 5.

выполнено.

Решение. Пусть А – искомое число. Так как оно делится на 7 и 5, то оно делится на 7х5=

35 и при делении дают равные ненулевые остатки, значит А= 35к+ r, где 0 < r < 5.

Если к= 3,то А=106, 107, 108, 109 первая слева цифра в этих числах не равна среднему

арифметическому двух других цифр. Если первая цифра 1, то условие не будет

выполнено.

Если к= 6, то А= 211, 212, 213, 214 первая слева цифра в числе 213 равна среднему

арифметическому двух других цифр, значит это число удовлетворяет заданному условию

и является наименьшим. Ответ. 213

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

делении на 9 и на 10 дает равные ненулевые остатки, а первая слева

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Если таких чисел несколько, в ответе укажите наибольшее из них

Задача №6

Задача №7

одно такое число.

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, которое

при делении на 6 и на 5 дает равные ненулевые остатки, а

первая слева цифра которого является средним

арифметическим двух других цифр.В ответе укажите ровно

одно такое число.

Ответ. 453

Ответ. 546

чисел несколько, в

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами 2 и3 и делится на 24. Если таких

чисел несколько, в

ответе укажите наименьшее из них.

Задача №8

Решение.

Ответ. 233232

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

24= 3х8, то оно делится на 3 и на 8. Согласно признаку делимости на 8,

получаем, что последние три цифры 232. Эти цифры в сумме дают

Согласно признаку делимости на 3, сумма первых трех цифр может

составлять 2(не подходит), 5 (не подходит), 8 (комбинации цифр

3,3,2). Так как число должно быть наименьшим, то 233232

Ответ. 233232

одно получившееся число.

Вычеркните в числе 54263027 три цифры так, чтобы

получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно

одно получившееся число.

Задача №8

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

числа равна 5+4+2+6+3+0=20

Ответ. 54630 или 42630.

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

15= 3х5, то оно делится на 3 и на 5. Согласно признаку делимости на 5,

получаем, что нужно вычеркнуть две последние цифры, получим число

542630. Из этого числа надо вычеркнуть 1 цифру. Сумма цифр этого

числа равна 5+4+2+6+3+0=20

Согласно признаку делимости на 3, надо вычеркнуть 2 (сумма цифр

будет18) или 5(сумма цифр будет 15)

Ответ. 54630 или 42630.

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами

2 и 4 и делится на 36. Если таких чисел несколько,

в ответе укажите наибольшее из них.

Задача №9

Ответ. 442224

Вычеркните в числе 84537625 три цифры так, чтобы

получившееся число делилось на 12. В ответе укажите

ровно одно получившееся число.

Задача №10

Ответ. 84576

стер Коля?

На доске было написано пятизначное число, делящееся на

55 без остатка. Мимо бежал Коля, стер одну цифру, а

вместо нее нарисовал *. Получилось 404*0. Какую цифру

стер Коля?

Задача №11

Решение.

40400= 55х734+30, значит

10а+30=55к

Если к= 2, то 10а=80, а=8

а ≥ 13,5

(а -не является цифрой)

Ответ. 8.

Решение.

Пусть а – искомая цифра. Тогда число можно представить в виде:

404а0 = 40400+10а. Так как остаток от деления 40400 на 55 равен 30,

40400= 55х734+30, значит

404а0 = 40400+10а= 55х734+30+ 10а, т.е 40400 +10а делится нацело на

55 в том и только том случае, если 10а+30 делится нацело на 55,т.е

10а+30=55к

Если к= 1, то 10а=25, а=2,5 (не является цифрой)

Если к= 2, то 10а=80, а=8

Если к≥3, то 10а=55к ─30, будет не меньше, чем 135,

а ≥ 13,5

(а -не является цифрой)

Ответ. 8.

которых сумма цифр равна 3?

Сколько существует трехзначных чисел, у

которых сумма цифр равна 3?

Задача №12

Ответ. 6.

Решение. Пусть авс – искомое число. Так как а+в+с=3,

то простым перебором вариантов (рассматривая

поочередно случаи а=1,а=2,а=3), получаем числа

120,102,111,210,201,300, т.е их количество равно 6.

Ответ. 6.

стер Петя?

На доске было написано пятизначное число, делящееся

на 41без остатка. Мимо бежал Петя, стер одну цифру, а

вместо нее нарисовал *. Получилось 342*6. Какую цифру

стер Петя?

Задача №13

Ответ. 7

Задача №14

цифр равна 4?

Сколько существует трехзначных чисел, у которых сумма

цифр равна 4?

Ответ. 10

Список литературы:

образование, 2016г

Математика. Подготовка к ЕГЭ 2016.

Базовый уровень./ Д.А. Мальцев, А.А.

Мальцев, Л.И.Мальцева/- М: Народное

образование, 2016г

2. Демо - версия 2016г (сайт ФИПИ)

Сайт «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина

Алгебра 8класс: учебник для учащихся общеобразовательных

организаций/ Ю.Н.Макарычев и др./- М: Мнемозина,2015

Математика 5,6 класс: учебники для общеобразовательных

учреждений/ Н.Я.Виленкин и др. /- М: Мнемозина,2015

Спасибо за внимание!!!

В задании 19 базового уровня предложены задачи на тему "Делимость натуральных чисел". Чтобы решить такую задачу, надо хорошо знать признаки делимости натуральных чисел.

Признаки делимости.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.

1. Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два - нечётными.

2. Признак делимости на 4 . Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

3. Признак делимости на 8 . Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

4. Признаки делимости на 3 и 9 . Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

5. Признак делимости на 6 . Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

6. Признак делимости на 5 . Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

7. Признак делимости на 25 . Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

8. Признак делимости на 10 . Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

9. Признак делимости на 100 . Число делится на 100, если две его последние цифры - нули.

10. Признак делимости на 1000 . Число делится на 1000, если три его последние цифры -нули.

11. Признак делимости на 11 . На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. (Например, 12364 делится на 11, т.к. 1+3+4=2+6.)

За-да-ние 19 (1). При-ве-ди-те при-мер трёхзнач-но-го числа, сумма цифр ко-то-ро-го равна 20, а сумма квад-ра-тов цифр де-лит-ся на 3, но не де-лит-ся на 9.

Решение.

Раз-ло-жим число 20 на сла-га-е-мые раз-лич-ны-ми спо-со-ба-ми:

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9?

Замечаем, что, если в разложении 2 числа делятся на 3, то сумма квадратов на 3 не делится.

9 2 +9 2 +2 2 не делится на 3

При раз-ло-же-нии спо-со-ба-ми (1)−(4) суммы квад-ра-тов чисел не делятся на 3.

При раз-ло-же-нии спо-со-бом (5) сумма квад-ра-тов делится на 3 и на 9.

Раз-ло-же-ние ше-стым спо-со-бом удо-вле-тво-ря-ет усло-ви-ям за-да-чи. Таким об-ра-зом, усло-вию за-да-чи удо-вле-тво-ря-ет любое число, за-пи-сан-ное циф-ра-ми 5, 7 и 8, на-при-мер, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

19 задание в профильном уровне ЕГЭ по математике направлено на выявление у учеников способности оперировать числами, а именно их свойствами. Это задание наиболее сложное и требует нестандартного подхода и хорошего знания свойств чисел. Перейдем к рассмотрению типового задания.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Алгоритм решения:

Вводим переменные k, l , m.
Находим сумму набора чисел.
Отвечаем на пункт а).
Определяем, каких чисел больше (пункт б)).
Определяем, сколько положительных чисел.

Решение:

1. Пусть среди записанных на доске чисел положительных k. Отрицательных чисел l и нулевых m.

2. Сумма выписанных чисел равна их количеству в данной записи на доске, умноженному на среднее арифметическое. Определяем сумму:

4k −8l + 0⋅m = − 3(k + l +m)

3. Заметим, что слева в приведенном только что равенстве каждое из слагаемых делится на 4, потому сумма количества каждого типа чисел k + l + m тоже делится на 4. По условию общее число записанных чисел удовлетворяет неравенству:

40 < k + l + m < 48

Тогда k + l + m = 44, потому что 44 единственное между 40 и 48 натуральное число, которое делится на 4.

Значит, написано на доске всего 44 числа.

4. Определяем, чисел какого вида больше: положительных или отрицательных. Для этого приведем равенство 4k −8l = − 3(k + l +m) к более упрощенному виду: 5l = 7k + 3m.

5. m≥ 0. Отсюда вытекает: 5l ≥ 7k, l > k. Получается, что отрицательных чисел записано больше положительных. Подставляем вместо k + l + m число 44 в равенство

4k −8l = − 3(k + l + m).

4k − 8l = −132, k = 2l − 33

k + l ≤ 44, тогда получается: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤17. Отсюда приходим к выводу, что положительных чисел не более 17.

Если же положительных чисел всего 17, то на доске 17 раз записано число 4, 25 раз – число −8 и 2 раза записано число 0. Такой набор отвечает всем требованиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Второй вариант 1 (из Ященко, №1)

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Алгоритм решения:

Приведем пример набора чисел, который удовлетворяет условию (Это подтверждает возможность набора чисел).
Проверяем вероятность второго условия.
Ищем ответ на третий вопрос, введя переменную n.
Записываем ответы.

Решение:

1. Такой примерный перечень чисел на доске соответствует заданным условиям:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

Это дает положительный ответ на вопрос а.

2. Пусть на доске написано ровно два числа, у которых последняя цифра 3. Тогда там записано 33 чётных числа. Их сумма:

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1062, то есть, утвердительного ответа на вопрос б нет.

3. Полагаем, что на доске записано n чисел, которые оканчиваются на 3, и (35 – n)из выписанных чётные. Тогда сумма чисел, которые оканчиваются на 3, равна

а сумма чётных:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

Тогда из условия:

Решаем получившееся неравенство:

Получается, что . Отсюда, зная, что n - натуральное, получаем .

3. Наименьшее число чисел, оканчивающихся на 3, может быть только 5. И добавлено 30 чётных чисел, тогда сумма всех чисел нечётна. Значит, чисел, которые оканчиваются на 3, больше. чем пять, поскольку сумма по условию равна четному числу. Попробуем взять 6 чисел, с последней цифрой 3.

Приведём пример, когда 6 чисел, оканчиваются на три, и 29 чётных чисел. Сумма их равна 1062. Получается такой список:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Третий вариант (из Ященко, №4)

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1173 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 17 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 18 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 45 фотографий?

Алгоритм решения:

Ответим на вопрос а).
Найдем ответ на вопрос б).
Найдем суммарное количество фотографий, сделанных Наташей.
Запишем ответ.

Решение:

1. Если Маша сделала m фотографий в 1-й день, то за 17 дней она сфотографировала снимков.

В данной статье речь пойдёт о решении задачи 19 из варианта досрочного профильного ЕГЭ по математике, предлагавшегося для решения школьникам в 2016 году. Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) традиционно вызывает наибольшие затруднения у выпускников, ведь это последняя, а потому обычно самая сложная задача из экзамена. По крайней мере, такое впечатление часто складывается в умах школьников, готовящихся к ЕГЭ. Но на самом деле ничего очень сложного в этих задачах нет. Посмотрите, например, как легко решается следующая задача 19 из профильного ЕГЭ по математике.

Не смущайтесь термина «хорошее» множество. Это типично для составителей вариантов ЕГЭ по математике. Когда не хватает слов, приходится использовать слова не по их прямому назначению.

Решение задачи 19 из профильного ЕГЭ по математике под буквой А

Перейдём к решению. Отвечаем на вопрос под буквой А. Является записанное множество хорошим? Предположим, что да. Если это действительно так, то это самый простой случай для нас. Ведь в этом случае требуется лишь привести пример разбиения этого множества на два множества, суммы элементов которых одинаковы. В противном случае пришлось бы доказывать принципиальную невозможность нужного разбиения. А это уже гораздо сложнее. Ну а поскольку это лишь задание под буквой А, можно надеяться, что оно достаточно простое. Итак, попытаемся разбить наше множество на два подмножества, суммы элементов в которых будут одинаковы.

К счастью, чтобы это сделать, не нужно быть Эйнштейном. Берём самое очевидное и интуитивное решение. Группируем элементы исходного множества в пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее:

Последняя парочка будет состоять из двух чисел: 249 и 250. Всего таких парочек получится 50. Сумма чисел в каждой парочке равна 499. А дальше берите какие угодно 25 парочек в первое множество, остальные 25 — во второе множество, и получите требуемое разбиение. Итак, ответ на вопрос под буквой А — да!

Ответ на вопрос под буквой Б из задачи 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Переходим к вопросу под буквой Б. Задание то же самое, только множество другое. Поэтому думается, что авторы-составители должны были здесь проявить оригинальность. Так что, скорее всего, это множество уже не будет хорошим. Если это так, то просто примером в данном случае ограничиться не получится, придётся всё доказывать. Ну что ж, попробуем.

Вообще говоря, если вдуматься в задание, то решение приходит само собой. Нам требуется разбить данное множество на два подмножества, суммы элементов в каждом из которых равны. Ну и, в общем, тут не нужно быть Стивином Хокингом, чтобы понять, что ключ к решению в том, чтобы найти, чему должны быть равны эти суммы! А для этого нужно посчитать сумму элементов нашего исходного множества.

Посмотрите внимательно. Перед нами классическая геометрическая прогрессия со знаменателем , первым членом и элементами. Сумма всех элементов такой прогрессии определяется по известной формуле:

Это означает, что если бы мы разбили наше множество на два подмножества с одинаковой суммой элементов в каждом из них, то эта сумма оказалась бы равной . А это нечётное число! Но ведь все элементы нашего множества — это степени двойки, то есть числа безусловно чётные. Вопрос. Может ли получиться нечётное число, если складывать чётные числа? Конечно, нет. То есть мы доказали невозможность такого разбиения. Итак, ответ к вопросу под буквой Б из решения задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) — нет!

Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) под буквой В

Ну и наконец, переходим к вопросу под буквой В. Сколько же четырёхэлементных хороших множества содержится в множестве {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? Да… Тут уже придётся задуматься более серьёзно. Ну конечно! Ведь это последнее, как говорят некоторые видеоблогеры, самое жёсткое задание в профильном ЕГЭ по математике. Так как же его решить?

Доводилось ли вам когда-нибудь слышать об осознанном переборе? Этот метод применяется тогда, когда возможных вариант не очень много. Но при этом варианты перебираются не как попало, а в определённой последовательности. Это нужно для того, чтобы не упустить из виду ни одного возможного варианта. Плюс, по возможности, при переборе исключаются из рассмотрения невозможные варианты. Итак, как же нам свести это задание к осознанному перебору?

Введём фильтр, ограничивающий перебор:

Заметим сразу, что суммы искомых хороших четырёхэлементных подмножеств должны быть чётными, иначе их нельзя разбить на подмножества с одинаковыми суммами элементами. При этом минимально возможная сумма равна 1+2+4+5 = 12, а максимально возможная сумма равна 5+7+9+11 = 32. Таких сумм 11 штук.
Примем также во внимание, что чётные числа 2 и 4 должны либо одновременно входить в хорошее четырёхэлементное множество, либо одновременно не входить в него. В противном случае только одно из чисел четырёхэлементного множества чётное, поэтому сумма элементов такого множества не будет чётной.
Поскольку порядок расположения элементов в искомых хороших четырёхэлементных множествах не важен, договоримся, что элементы в этих множествах будут у нас расположены по возрастанию.

Рассматриваем все возможные суммы:

Сумма 12: {1; 2; 4; 5}.
Сумма 14: {1; 2; 4; 7}.
Сумма 16: нет вариантов.
Сумма 18: {2; 4; 5; 7}.
Сумма 20: нет вариантов.
Сумма 22: {2; 4; 7; 9}, {2; 4; 5; 11}.
Сумма 24: {1; 5; 7; 11}.
Сумма 26: {2; 4; 9; 11}.
Сумма 28: нет вариантов.
Сумма 30: нет вариантов.
Сумма 32: {5; 7; 9; 11}.

Вот и получилось у нас всего 8 множеств. Других вариантов нет. То есть ответ к заданию под буквой В — 8.

Вот такое решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень). Для тех, кто только начинает готовиться к сдаче профильного ЕГЭ по математике, оно можно показаться сложным. Но на самом деле для решения таких задач требуется использование одних и тех же способов и приёмов. Нужно только овладеть ими, и все эти задачи будут казаться вам простыми, и вы их решите на экзамене без всяких проблем. Я вас мог этому научить. Подробную информацию обо мне и моих занятиях вы можете найти на .